Getmanovo pravidlo pro výpočet determinantu 4. řádu

Sarussovo pravidlo nefunguje, rozvoj nechápu a dávat pozor při gaussování se mi nechce. Výpočet determinantu souvisí s permutacemi, takže má děsivou složitost O(n!). Nicméně výběr prvků do součinů se dá vyjádřit jako rozmisťování věží na šachovnici. A šachy jsem onehdá hodně hrával.

2*n^3/3 proti n! -> 2*4^3/3 = 42,667 proti 4! = 24

Máme 24 různých možností romístění 4 věží na šachovnici 4x4 tak, aby se neohrožovaly. 8 z nich uděláme tupou aplikací Sarusse, ale zmaménka permutací se střídají, protože počet prvků je sudý.

  1234   2341   3412   4123   4321   1432   2143   3214 
| w... | ...w | ..w. | .w.. | ...w | w... | .w.. | ..w. |
| .w.. | w... | ...w | ..w. | ..w. | ...w | w... | .w.. |
| ..w. | .w.. | w... | ...w | .w.. | ..w. | ...w | w... |
| ...w | ..w. | .w.. | w... | w... | .w.. | ..w. | ...w |
   ++     --     ++     --     ++     --     ++     --

Pak tu máme 16 dalších:

     Blesk          Hák       Ruce v bok  Flotila/Stromek
  1324   4231   4312   2134   3241   1423   4213   3124
| w... | ...w | ..w. | .w.. | ...w | w... | ..w. | .w.. |
| ..w. | .w.. | ...w | w... | .w.. | ..w. | .w.. | ..w. |
| .w.. | ..w. | .w.. | ..w. | w... | ...w | ...w | w... |
| ...w | w... | w... | ...w | ..w. | .w.. | w... | ...w |
   --     --     --     --     ++     ++     ++     ++

   Čtvereček        Nohy      Ruce vzhůru      Spock
  3142   2413   1243   3421   2314   4132   1342   2431
| .w.. | ..w. | w... | ...w | ..w. | .w.. | w... | ...w |
| ...w | w... | .w.. | ..w. | w... | ...w | ...w | w... |
| w... | ...w | ...w | w... | .w.. | ..w. | .w.. | ..w. |
| ..w. | .w.. | ..w. | .w.. | ...w | w... | ..w. | .w.. |
   --     --     --     --     ++     ++     ++     ++

Nakonec došlo na piráty, Harryho Pottera a Star Trek. Tomu všemu byla přiřazena znaménka podle počtu překřížení:

Všechny tyhle se dají zabalit do sarussoidního posouvání těchto ůtvarů směrem dolů:

   Diagonály      Blesky   Ruka v bok/vzhůru
| w... | ...w | w... | ...w | ...w | .w.. |
| .w.. | ..w. | ..w. | .w.. | .w.. | ...w |
| ..w. | .w.. | .w.. | ..w. | w... | ..w. |
| ...w | w... | ...w | w... | ..w. | w... |

Diagonály alternují +-: +1234 -2341 +3412 -4123, +4321 -1432 +2143 -3214
Blesky alternují -+: -1324 +2431 -3142 +4213, -4231 +1342 -2413 +3124
Ruce alternují +-: +3241 -4312 +1423 -2134, +4132 -1243 +2314 -3421

Blesk - Spock - Čtvereček - Flotila/Stromek
Ruce v bok - Háky, Ruce vzhůru - Nohy

Nakonec to tak strašné není, tomu faktoriálu chvíli trvá, než se roběhne. Víc než 5x5 bych ale z definice nepočítal ani já, to už je lepší to gaussování. Na závěr celý odvozený na 1. pohled nezapamatovatelný vzoreček a pár mnemotechnických pomůcek:

| a b c d |
| e f g h | ___ +afkp -ejod +inch -mbgl +mjgd -ankh +ebol -ifcp
| i j k l | ___ -ajgp +enkd -iboh +mfcl -mfkd +ajoh -encl +ibgp
| m n o p |     +ifod -mjch +angl -ebkp +mbkh -afol +ejcp -ingd
  a b c d
  e f g h
  i j k l

#define det4(m) \
( m[0][0]*m[1][1]*m[2][2]*m[3][3] - m[1][0]*m[2][1]*m[3][2]*m[0][3] \
+ m[2][0]*m[3][1]*m[0][2]*m[1][3] - m[3][0]*m[0][1]*m[1][2]*m[2][3] \
+ m[3][0]*m[2][1]*m[1][2]*m[0][3] - m[0][0]*m[3][1]*m[2][2]*m[1][3] \
+ m[1][0]*m[0][1]*m[3][2]*m[2][3] - m[2][0]*m[1][1]*m[0][2]*m[3][3] \
- m[0][0]*m[2][1]*m[1][2]*m[3][3] + m[1][0]*m[3][1]*m[2][2]*m[0][3] \
- m[2][0]*m[0][1]*m[3][2]*m[1][3] + m[3][0]*m[1][1]*m[0][2]*m[2][3] \
- m[3][0]*m[1][1]*m[2][2]*m[0][3] + m[0][0]*m[2][1]*m[3][2]*m[1][3] \
- m[1][0]*m[3][1]*m[0][2]*m[2][3] + m[2][0]*m[0][1]*m[1][2]*m[3][3] \
+ m[2][0]*m[1][1]*m[3][2]*m[0][3] - m[3][0]*m[2][1]*m[0][2]*m[1][3] \
+ m[0][0]*m[3][1]*m[1][2]*m[2][3] - m[1][0]*m[0][1]*m[2][2]*m[3][3] \
+ m[3][0]*m[0][1]*m[2][2]*m[1][3] - m[0][0]*m[1][1]*m[3][2]*m[2][3] \
+ m[1][0]*m[2][1]*m[0][2]*m[3][3] - m[2][0]*m[3][1]*m[1][2]*m[0][3] )

AFKPEJODINCHMBGL
MJGDANKHEBOLIFCP
AJGPENKDIBOHMFCL
MFKDAJOHENCLIBGP
IFODMJCHANGLEBKP
MBKHAFOLEJCPINGD

AFK PErson JODels INCH MegaByte Graphic Library
MaJor GoD ANKH EBOLa InFeCt Pee
AdJacent Grand Prix ENKiDu I BOHeMia oF CoLumn
Me FucKed A JOHn ENCLave In Before Grand Prix
IF OverDrive Michael Jackson CHANGe LEsser BacK Pad
MegaByte KHAF OLE Just Cause PINGeD

AFeKt PEčlivě JÓD INCentiva HaMBurGer hLe
MyJ Gumové Dildo ANKH EBOLa InFo ČáP
AJ Grand Prix ENKiDú I BOHa Ministerstvo Financí CLo
Ministerstvo Financí KyDAJ OHEŇ CLI BáGly Přes
InFO DůM Je CHAta Nová Generace LEBKa Před
Mladá Boleslav Kam HAF OLEJ CPI Nová Generace Dětí

(mnemonicgenerator.com)
Amazing Frumpy Kinky Prince Exploded Jokingly Once Doubtful Illegal Nutritious Chambermaids Harassed Masked Bogus Gophers Lovingly.
Majestically Juicy Glorious Dangerous Acidic Nutty Kissable Himbos Electrocuted Boiled Official Lethal Idle Firm Cyborgs Perfectly.
Abrasive Jinxed Giraffes Pinched Eager Nourishing Kittens Distastefully, If Bovine Obliging Henchmen Manipulated Fatty Chambermaids Lustily.
Mockingly Filthy Kindly Dangerous Ancient Juvenile Oily Heroes Enjoyed Nerdy Curly Lewd Iconic Brave Grenades Posthumously.
Intensely Fondly Outstanding Dark Men Judged Cuddly Henchmen Accidentally Near Greasy Lucky Elks Before Killers Pitilessly.
Monogamous Blushing Knobby Heiresses Assaulted Fluffy Obese Lonesome Enchiladas Jealously, Consequently Pink Itchy Nessie Grimaced Disgustingly.

(nameacronym.net)
APPLICATION, FLOPPY DISK FREE SOFTWARE, KEY, PLUG-IN, EXABYTE, JOYSTICK, OPEN-SOURCE OPERATING SYSTEM, DELETE, ICON, NETWORK, CLOUD, HOST, MULTIMEDIA, BUG, GRAPHICS, LOGIN;
MOOSE, JELLY, GRAHAM, DONUT, ARTICHOKE, NOODLE, KALE, HAM, EDIMAME EIDAM, BAGEL, OSTRICH, LINGUINE, ICE CREAM, FRENCH DIP FRIES, CABBAGE, PORTER;
ACTOR, JUDGE, GOVERNOR, POLICEWOMAN, ENTERTAINER, NOTARY, KARATE TEACHER, DRIVER, IMPORTER, BAKER, ORDERLY, HOBO, MAYOR, FLUTIST, CALLIGRAPHER, LIFEGUARD;
MUSKRAT, FRUIT BAT, KILLER WHALE, DOG, ANTELOPE, JAGUAR, OCELOT, HUMAN, ELAND, NORTHERN RIGHT WHALE, CHIMPANZEE, LEOPARD, IMPALA, BOWHEAD WHALE, GERBIL, PROBOSCIDEAN;
INFANTRY, FIRETEAM, OFFICER, DETONATE, MACHETE, JEEP, CADET, HONOR, AIRCRAFT, NEUTRAL, GENEVA CONVENTION, LANCE CORPORAL, EVACUATE, BESIEGE, KILL, PURPLEHEART;
MOTOR, BONNET, KEY, HYBRID, ALARM, FUEL, OIL, LUG BOLT, EMISSION, JACK, COMPUTER, POWER BRAKES, INSTRUMENT PANEL, NAVIGATION, GLOVE COMPARTMENT, DIP STICK.



Pro 5. řád nám ještě stačí anglická písmenka, ale tady se gaussování už začíná vyplácet.

2*5^3/3 = 83,33 proti 5! = 120

| a b c d e |
| f g h i j |
| k l m n o |
| p q r s t |
| u v w x y |



Pro 6. řád musíme použít naši abecedu. Můžou posloužit i některá rozšíření azbuky, ta ruská má ale jenom 33 z 36 písmen. Odříkávací česká abeceda má jenom 34, takže musíme použít úplnou (42), což dovolí vynechat Ch a Ů.

| a á b c č d |
| ď e é ě f g |
| h i í j k l |
| m n ň o ó p |
| q r ř s š t |
| ť u ú v w x |

A pro 7. řád, který potřebuje 49 písmenek už nám zbývá jen tohle:

IMHO mi přijde počítat determinanty z definice lepší použití výpočetních prostředků než těžba Bitcoinu. To je nápad na DeterminantCoin.